密度函数pM（p）来刻画代数簇V在模态空间的稠密性证明了如果pM（p)>0对应的模态路径与代数簇V的某部分重合，则v的几何性质可以由模态密度分布的解析行为来决定。比如曲率跟奇点分布这些。」

余伟回答的很快，显然那节课的内容他至今还记忆犹新。

「哦，那应该是要分析代数簇在模态空间的嵌入行为。之后还有吗？」

乔喻继续问道。

「有，模态路径与环面映射的同构，模态路径与代数曲线的相交性质这些。不过他只是在上课的时候顺带着提了一些，没有深入的讲，考试也没涉及这类题。说是我们以后想要研究这个，要等到研究生阶段。」

乔喻点了点头，几句话的功夫他已经看完了论文的综述、摘要，开始看到了正文部分。

情况差不多了解了，他也认真起来。毕竟老余这人其实还行，面冷心热的。

虽然继续满足自己的好奇心并不会拖慢他阅读论文的速度，但余伟这家伙心思细腻的要命，说不定就会觉得他并没有认真阅读论文。

乔喻不再开口提问，余伟本就是闷葫芦的性子，自然也不会主动再开口说什么。

良好的教养也让他不会乱动乔喻的东西，干脆就坐在那里，看着乔喻翻看论文·.—

就这样半个小时后，乔喻已经把论文完整的读了一遍。

花费的时间短，是因为乔喻对这个问题本就思考过很长时间。

当时他缩小素数上界间隔的时候，没有缩小到4是因懒得再证明一些相关的工具。

但现在对方的想法其实跟他当时差不多。

简单来说就是利用他之前推导出的定理，构建了模态谱流形，通过将这个问题的模态路径的点集，也就是素数分布，嵌入到具有更高维几何对称性的空间中，并用于捕捉稀疏分布中的局部规律。

这其中的模态谱流形M（moda）就是一个高维拓扑空间。其中的坐标由模态空间中素数间的关联值生成。

流形的几何性质直接用于表征素数分布的微结构。然后引入一个稀疏性映射S运算子，来刻画模态谱流形上局部稀疏分布的对称性。

并得到了一个表达式：

然后就是证明过程了。

「论文写的的确没什么问题，应该修改几遍了吧？不过你们为什么只证明到了4？工具都开发出来了，为什么不一步到位，直接证明到2？你又不缺钱，难道还想多刷几篇论文？」

乔喻看完论文，看着余伟问道。

余伟收回发呆的目光，无语的看向乔喻，半响才忿忿不平的开口说道：「谁不想直接一步到位？但密度函数的分布分辨率不够，受到光滑性限制。

这就导致在高密度区域的梯度过小，更小的间隔没法处理，而且灵活性也不够.而且这些我都写在结尾部分了啊！」

我怎么知道你结尾写的那些是不是真心话？也可能你们是故意在这篇论文里夸大困难，然后下篇论文直接解决问题啊，这样就显得自己很有能耐，不瞒你说，我就经常会想这么干。」

乔喻理直气壮的反驳道。

余伟张了张嘴，发现这方面完全没法跟乔喻讲理，于是干脆直接问道：「所以你觉得这篇论文能不能直接发了？」

乔喻没有直接回答，而是问道：一「你这么着急干什么？话说这篇论文的一作跟二作你们准备怎么分配？或者说你跟陈教授各自的贡献是什么？」

「我提出了模态谱流形的局部等距性质，但是我没办法证明其在嵌入映射下的连续性。然后开始跟陈教授一起讨论。

包括对模态密度函数进行重构，跟利用模态路径的核积分特性验证等距关系收敛性这些都是陈教授的想法。

所以陈教授的意思是，这篇论文我们完全可以共一作。不过我觉得陈教授应该是觉得我跟你关系不错，才这么提议。严格来说我的贡献没那么大。」

乔喻点了点头，又好奇的问道：「那陈教授怎么没跟你一起来？」

余伟实诚的答道：」「陈教授说他有一个猜测，但让我别跟你说。」

乔喻直接冲着余伟翻了个白眼余伟想了想，说道：「好吧，他说之前跟你做过一些讨论。这篇论文很多灵感，也是跟你讨论出来的。他觉得你能独立完成这个证明，所以不太好意思来。」

果不其然，乔喻就知道，搞数学的就没一个良善之人，都是一堆心眼子。

不过说实话，能够跟教授一起把论文完善到这种程度，余伟还是很让他刮自相看的。这家伙好像也没有1MO期间表现的那么智障。

「主动提出共一作说明老陈还挺有良心的。行吧，不过既然论文已经做到这一步了，直接发表还不如干脆推到2吧，然后直接投Ann.Math。不瞒你说我跟Ann.Math的主编洛特·杜根挺熟的。」

乔喻直接给出了建议。

余伟深吸了口气，说道：「这很难，我们尝试过很多办法，整个暑
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